Experimental Mental Original do Bayes
No trabalho original de Thomas Bayes', publicado após sua morte pelo seu amigo Richard Price, há um experimento mental para ilustrar a idéia de probabilidade inversa. Este programa ilustra este experimento mental graficamente.
Imagine que uma bola de sinuca é jogada sobre a mesa, mas que você desconhece a posição final onde a bola para. Como é possível estimar a posição onde a bola parou? Que tipo de informação precisamos? É possível calcular probabilides para responder a pergunta?
Nosso primeiro passo pode ser dividir a mesa em setores (ou quadrantes), desta forma tornando o problema um pouco mais tratável (discretizado). Para esse exemplo vamos dividir a mesa em dez setores ao longo de seu comprimento (dimensão maior), e ignorar a largura.
Inicialmente, se nenhuma informação adicional tiver sido fornecida, o nosso melhor palpite é propor uma probabilidade igual para qualquer posição (setor) possível para a bola, uma vez que, assumindo que o arremesso foi justo, a bola pode ter parado em qualquer lugar ao longo do comprimento da mesa. Ou seja, a nossa probabilidade à priori é uniforme e não informativa entre os setores. Sem informação adicional esse é o melhor e mais razoável que nós temos.
Para melhorar nosso palpite lhe oferecem um experimento. Você pode jogar novas bolas de olhos vendados, mas você só será informado se uma nova bola estacionará à esquerda, à direita, ou no mesmo setor (quadrante) da primeira bola.
Por incrível que pareça, usando o teorema de Bayes esse experimento é suficiente para calcularmos probabilidades para a posição da primeira bola!
Considerando o resultado de cada experimento (posição da nova bola em relação à primeira), podemos calcular uma verossimilhança (likelihood) para cada setor da mesa. Então, considerando que cada setor da mesa é uma hipótese para a posição da primeira bola (H), a posição relativa (ex. à esquerda, à direita)da novas bolas são dados. Por exemplo, se nos disserem que a nova bola parou à esquerda da primeira, então sabemos que a primeira bola não parou no setor mais à esquerda da mesa. Além disso, o setor mais à direita da mesa se torna o mais suspeito para o destino da primeira bola, pois há nove setores à esquerda dele. Ou seja, podemos transformar o resultado da jogada de cada nova bola em L(x|H), onde x é a posição relativa, H é cada setor, e L é a função de verossimilhança (likelihood) que nos informa a probablidade de uma nova ter aquela posição relativa em relação à primeira bola, para cada setor.
Como tudo na vida, quanto mais informações tivermos, mais podemos aprender e confiar na nossa conclusão, desde que possamos ser racional. E, de fato, ser Bayesiano é processar informação de maneira racional. Então, com a jogada repetida de diversas bolas novas podemos ir acumulando informação sobre a relação com a bola nova em cada setor. E isso é tudo que preciamos para uma inferencia Bayesiana.
De posse de verossimilanças (likelihoods) e de priors, podemos aplicar o teorema de Bayes para estimar a probabilidade da primeira bola ter parado em cada setor (H), dado o resultado do experimento (x), ou seja, a probabilidade invertida P(H|x).
